Die Lagrange-Methode an einem Beispiel leicht erklärt – VWL (Mikroökonomik)

Die Lagrange-Methode Mit der Lagrange-Methode können wir eine Zielfunktion unter einer Nebenbedingung optimieren. In dem folgenden Bespiel optimieren wir eine Nutzenfunktion unter einer Budgetrestriktion. Dazu beschäftigen wir uns mit der Frage: Welcher Konsumbündel ist unter gegebener Budgerestriktion optimal? Die Nutzenfunktion lautet: U = y² * x Die Budgetrestriktion sieht so aus: 100 = x + y 0 = x + y – 100 Die Lagrangefunktion setzt sich folgendermaßen zusammen: L = y² * x – λ * (x + y – 100) Wir bilden zunächst die 3 partiellen Ableitungen und setzen diese gleich 0: ∂L / ∂x = y² – λ = 0 ∂L / ∂y = 2xy – λ = 0 ∂L / ∂λ = -x – y + 100 = 0 Anschließend lösen wir die ersten beiden partiellen Ableitungen nach einer Variablen auf, dazu kann man folgende drei Verfahren verwenden: das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren verwenden. 2xy – λ = 0                             y² – λ = 0 2xy = λ                                 y² = λ Wir schreiben als Bruch: 2xy = λ y²    λ Daraus folgt: 2x = 1 y    1 Also: 2x = y Dies beschreibt das optimalee Verhältnis der Güter. Dieses Ergebnis setzen wir dann in die 3. partielle Ableitung ein. -(2x) – x + 100 = 0 -3x = -100 x = 100/3 Von Gut x werden also 100/3 Einheiten konsumiert. Dieses Ergebnis setzen wir in 2y = x ein, so dass 2 * 100/3 = y 200/3 = y Von Gut x werden also 200/3 Einheiten konsumiert. Das optimale Güterbündel liegt also bei 200/3 für x und 100/3 für y.