Enthält die Funktion nur gerade Potenzen, liegt eine sogenannte Achsensymmetrie vor. Die Funktion verläuft also symmetrisch zur y-Achse.
f(x) = ax² + c ist also achsensymmetrisch.
Enthält die Funktion nur ungerade Potenzen, liegt eine sogenannte Punktsymmetrie vor. Die Funktion verläuft also symmetrisch zu einem bestimmten Punkt.
f(x) = ax³ + cx ist also punktsymmetrisch.
Enthält eine Funktion gerade und ungerade Potenzen, ist diese nicht symmetrisch.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d ist also nicht symmetrisch.
Das Verhalten im Unendlichen
Man betrachtet beim Verhalten im Unendlichen den Limes, also den Grenzwertverlauf der Funktion. Hierbei muss man sich die höchste Potenz der Funktion an sehen und betrachtet dabei zum einen, ob diese gerade oder ungerade ist und zum anderen den Faktor vor der höchsten Potenz. Dabei muss man unterscheiden, ob dieser positiv oder negativ ist. Man erhält dadurch folgende Übersicht:
Im folgenden gehen wir von dem Beispiel f(x) = ax³ + bx² +cx + d aus.
Die Nullstellen
Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man f(x) = 0.
f(x) = 00 = ax³ + bx² + cx + d
Um hier auf ein Ergebnis zu kommen, benutzt man zunächst die Polynomdivision, danach die pq-Formel. Es gibt hier bis zu 3 Nullstellen.
y-Achsensbschnitt
Man setzt zur Berechnung des y-Achsenabschnitts x = 0. Daraus folgt:
f(0) = d
Um die Extremstellen zu berechnen, setzt man f`(x) = 0. Mit Hilfe der pq-Formel erhält man bis zu 2 Extremstellen. Diese setzt man dann in die Funktion f(x) und erhält die dazugehörigen y-Werte.
Weiterhin setzt man die berechneten x-Werte in f„(x) ein.
Ist das Ergebnis positiv, hat man einen Tiefpunkt.
Ist das Ergebnis negativ, hat man einen Hochpunkt.
Der Wendepunkt
Um die Wendestelle zu berechnen, setzt man f„(x) = 0. Hat man dies dann nach x aufgelöst, setzt man das Ergebnis in f(x) ein und erhält den y-Wert.
