Die Lagrange-Methode an einem Beispiel leicht erklärt – VWL (Mikroökonomik)
Die Lagrange-Methode
Mit der Lagrange-Methode können wir eine Zielfunktion unter einer Nebenbedingung optimieren.
In dem folgenden Bespiel optimieren wir eine Nutzenfunktion unter einer Budgetrestriktion.
Dazu beschäftigen wir uns mit der Frage:
Welcher Konsumbündel ist unter gegebener Budgerestriktion optimal?
Die Nutzenfunktion lautet:
U = y² * x
Die Budgetrestriktion sieht so aus:
100 = x + y 0 = x + y – 100
Die Lagrangefunktion setzt sich folgendermaßen zusammen:
L = y² * x – λ * (x + y – 100)
Wir bilden zunächst die 3 partiellen Ableitungen und setzen diese gleich 0:
∂L / ∂x = y² – λ = 0 ∂L / ∂y = 2xy – λ = 0 ∂L / ∂λ = -x – y + 100 = 0
Anschließend lösen wir die ersten beiden partiellen Ableitungen nach einer Variablen auf, dazu kann man folgende drei Verfahren verwenden: das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren verwenden.
2xy – λ = 0 y² – λ = 0 2xy = λ y² = λ
Wir schreiben als Bruch:
2xy = λ y² λ
Daraus folgt:
2x = 1 y 1
Also:
2x = y
Dies beschreibt das optimalee Verhältnis der Güter.
Dieses Ergebnis setzen wir dann in die 3. partielle Ableitung ein.
-(2x) – x + 100 = 0 -3x = -100 x = 100/3
Von Gut x werden also 100/3 Einheiten konsumiert.
Dieses Ergebnis setzen wir in 2y = x ein, so dass
2 * 100/3 = y 200/3 = y
Von Gut x werden also 200/3 Einheiten konsumiert.
Das optimale Güterbündel liegt also bei 200/3 für x und 100/3 für y.